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自然指数与科学记号

2020-08-01  点赞109   浏览量:885

我们知道乘法是简化同一数连加若干次的记录方式,例如 $$2+2+2+2=2\times{4}$$ 而在同一数连乘时,我们也有简化的记录方式,称为次方。例如二连乘五次 $${2}\times{2}\times{2}\times{2}\times{2}$$ 可以记录成 $${2^5}$$,读作二的五次方;其中写在底下的 $$2$$ 称为底数,写在右上角的 $$5$$ 称为指数

$$10$$ 的次方在十进制数字中有特殊的形式:$${10^2=100}$$、$${10^3=1000}$$、$${10^4=10000}$$、$${10^5=100000}$$────$${10^n}$$ 就代表了 $$1$$ 后面有 $${n}$$ 个 $$0$$。此后我们都令 $${n}$$ 表示一个自然数。

我们特别规定 $${10^0=1}$$,而 $${10^{-1}=0.1}$$、$${10^{-2}=0.01}$$、$${10^{-3}=0.001}$$────$${10^{-n}}$$ 就代表小数点下第 $${n}$$ 位是 $$1$$ 其他全是 $$0$$ 的小数。可见,当 $${k}$$ 是一个整数,$${10^k}$$ 表示十进制数字上的一「位」,例如 $${k=0}$$ 是个位,$${k=2}$$ 是百位,$${k=3}$$ 是千分位。

我们可以利用 $$10$$ 的整数次方特点,简记非常大或非常小的数。例如:光的速度大略是每 $$300,000,000$$ 公尺,可写做 $${3\times10^8}$$ m/sec;质子的直径大约是 $$0.8414$$ 费米,也就是大约 $${8.414\times{10}^{-16}}$$ m。将一个非零的数写成

$$a\times 10^k$$,其中 $$1\le |a|<10$$,$$k\in\mathbb{Z}$$

的形式,称为科学记号。注意,任何非零的数都有唯一的科学记号表示法,而我们规定 $$0$$ 的科学记号就是 $$0$$。

当一个实数 $${x}\neq{0}$$ 写成了科学记号形式 $${x}\neq{0}$$ 写成了科学记号形式 $${x}={a\times 10^k}$$,则指数 $${k}$$ 表示 $${x}$$ 的「尺度」,也就是它大约有多大(或多小)。而如果 $${a}$$ 在小数点下有 $${p}$$ 位数,我们说 $${a}$$ 有 $${p+1}$$ 位有效数字

例如 $$8.414$$ 有四位有效数字。当我们以 $${p+1}$$ 位有效数字的科学记号表示 $${x}$$ 的估计值时,在 $${a}$$ 的小数点下第 $${p+1}$$ 位做四捨五入。例如以两位有效数字的科学记号表示质子直径时,就是 $${8.4\times10^{-16}}$$ m。以一位有效数字的科学记号表示 $${2^{32}}$$ 就是 $${4\times 10^9}$$,记作 $$2^{32}\approx{4\times 10^9}$$。

一般而言,任一个实数 $$a$$ 自己连乘 $$n$$ 次,用次方形式表示如下:

自然指数与科学记号

当 $${n=1}$$ 时并不会改变 $${a}$$ 值,因此 $${a^1}$$ 通常简写为 $${a}$$,$${a^2}$$ 是 $${a}$$ 的二次方则常称作 $${a}$$ 的平方,而 $${a^3}$$ 是 $${a}$$ 的三次方,又常称为 $${a}$$ 的立方。

指数是自然数的次方具有具体的意义:连乘。在此意义之下,很容易理解次方计算的几个规律,称为(自然指数的)指数律,列举如下。

指数加法律

当我们遇到底数相同的指数相乘时,例如 $${10^3\times10^8}$$,其计算过程如下:

$$\begin{array}{ll}{10^3\times10^8}&=({10}\times{10}\times{10})\times({10}\times{10}\times{10}\times{10}\times{10}\times{10}\times{10}\times{10})\\&=10000000000=10^{11}\end{array}$$

是不是又长又繁杂呢?但透过上面的操作,我们发现其结果就等于相乘两数的指数相加。因此计算上我们可以轻易地写为:$${10^3\times 10^8}=10^{(3+8)}=10^{11}$$,且这对于所有底数为实数 $${a}$$、指数为自然数的情况都适用,用数学符号表示为

$${a}^n\times{a}^m={a}^{n+m}$$,$${a}\in\mathbb{R},{n},{m}\in\mathbb{N}$$。

指数乘法律

如果我们对指数再作次方呢?以 $$(10^3)^4$$ 为例,首先先将之化为乘法的模式:

$$\begin{array}{ll}(10^3)^4&=10^3\times10^3\times10^3\times10^3\\&=10^{(3+3+3+3)}=10^{12}\end{array}$$(指数加法律)

由这段操作我们得知,$$(10^3)^4$$ 相当于 $$10^{4\times3}=10^{12}$$,这样的操作亦适用于所有的正整数指数,用数学符号写成

$$({a}^{n})^{m}={a}^{{n}\times{m}}$$,$${a}\in\mathbb{R},{n},{m}\in\mathbb{N}$$。

指数分配律

当我们两数相乘在做次方时,也有一个运算性质可供我们使用。以 $${5\times2}^3$$ 为例,其计算过程为 $${(5\times2)}^3=(10)^3=1000$$,在这範例中先乘再次方的计算过程十分简单。但若是 $${(2\times7)}^3$$ 呢?我们可以应用乘法的结合律和交换律得到

$$\begin{array}{ll}{(2\times7)}^3&={(2\times7)(2\times7)(2\times7)}\\&={{2}\times{2}\times{2}\times{7}\times{7}\times{7}}\\&={2^3}\times{7^3}={8}\times{343}=2744\end{array}$$

,不但过程较为简单,也让我们发现了指数分配律:

$$({a}\times{b})^m={a}^{m}\times{b}^{m}$$,$${a,b}\in\mathbb{R}, {m}\in\mathbb{N}$$。

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